Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]，
（1）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（2）求函数f（x）=

a

•

b

-2|

a

+

b

|的最小值；
（3）若f（x）=

a

•

b

-λ|

a

+

b

|的最小值是-

3

2

，求实数λ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量数量积公式和余弦加法定理能求出

a

 •

b

=cos2x．从而得到（

a

+

b

）²=

a

2+2

a

•

b

+

b

2=2+2cos2x
=4cos²x，x∈[0，

π

2

]，由此能求出|

a

+

b

|=2cosx．
（2）f（x）=

a

•

b

-2|

a

+

b

|=cos2x-2cosx=2cos²x-2cosx-1，由此利用配方法能求出其最小值．
（3）f（x）=

a

•

b

-λ|

a

+

b

=2（cosx-λ）²-2λ²-1，由此利用分类讨论思想能求出实数λ的值．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]，
∴

a

 •

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos（

3x

2

+

x

2

）
=cos2x．
∵（

a

+

b

）²=

a

2+2

a

•

b

+

b

2
=2+2

a

•

b

=2+2cos2x
=4cos²x，x∈[0，

π

2

]，
∴|

a

+

b

|=2cosx．
（2）由（1）知f（x）=

a

•

b

-2|

a

+

b

|=cos2x-2cosx
=2cos²x-2cosx-1
=2（cosx-

1

2

）²-

3

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴cosx=

1

2

，即x=

π

3

时，f（x）=

a

•

b

-2|

a

+

b

|取最小值-

3

2

．
（3）f（x）=

a

•

b

-λ|

a

+

b

=cos2x-4λcosx
=2cos²x-4λcosx-1
=2（cosx-λ）²-2λ²-1，
若λ＞1，f（x）_min=1-4λ＜-3，与题意不符；
若λ＜0，f（x）_min=-1，与题意不符；
若0≤λ＜1，f(x)min=-2λ2-1，
由-2λ2-1=-

3

2

，λ∈[0，1]，得λ=

1

2

，
∴实数λ的值为

1

2

．

点评：本题考查数量积的运算及其应用，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．