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    设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an=
    Sn
    n
    +2 （n-1）（n∈N*）．
    （1）求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；
    （2）是否存在自然数n，使得S1+
    S2
    2
    +
    S3
    3
    +…+
    Sn
    n
    -（n-1）2=2013？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
    （3）设Cn=
    2
    n(an+7)
    （n∈{N*}），Tn=c1+c2+c3+…+cn（n∈N*），是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N*均有Tn＞
    m
    32
    成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
    考点：数列的求和,等差数列的性质
    专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用
    分析：（1）把递推式变形得到Sn=nan-2n（n-1）（n∈N*），结合n≥2时an=Sn-Sn-1得到数列{an}是以1为首项，以4为公差的等差数列，进一步求出an和Sn；
    （2）把Sn代入S1+
    S2
    2
    +
    S3
    3
    +…+
    Sn
    n
    -（n-1）2=2013化简即可求得n的值；
    （3）把an代入Cn=
    2
    n(an+7)
    ，整理后求得Tn=c1+c2+c3+…+cn，再由Tn＞
    m
    32
    成立求得最大的整数m．
    解答： （1）证明：由an=
    Sn
    n
    +2（n-1），
    得Sn=nan-2n（n-1）（n∈N*）．
    当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1-4（n-1），
    即an-an-1=4，
    故数列{an}是以1为首项，以4为公差的等差数列．
    于是，an=4n-3，
    Sn=
    (a1+an)n
    2
    =2n2-n （n∈N*）；
    （2）解：由Sn=nan-2n（n-1），得
    Sn
    n
    =2n-1 （n∈N*），
    又S1+
    S2
    2
    +
    S3
    3
    +…+
    Sn
    n
    -（n-1）2=1+3+5+7+…+（2n-1）-（n-1）2=n2-（n-1）2=2n-1．
    令2n-1=2013，得n=1007，即存在满足条件的自然数n=1007；
    （3）解：∵Cn=
    2
    n(an+7)
    =
    1
    n(2n+2)
    =
    1
    2
    (
    1
    n
    -
    1
    n+1
    )    ，
    ∴Tn=c1+c2+c3+…+cn
    =
    1
    2
    [(1-
    1
    2
    )+(
    1
    2
    -
    1
    3
    )+…+(
    1
    n
    -
    1
    n+1
    )]
    =
    1
    2
    (1-
    1
    n+1
    )=
    n
    2(n+1)
    ．
    要使Tn＞
    m
    32
    总成立，需
    m
    32
    ＜T1=
    1
    4
    成立，即m＜8且m∈Z，
    故适合条件的m的最大值为7．
    点评：本题考查了数列递推式，考查了等差数列的性质，训练了错位相减法求数列的和，考查了利用不等式恒成立求参数的取值范围，是中档题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，对于一条折线C：A1-A2-…-An，若能再作出一条折线C′：A1-B2-B3-…-Bn-1-An，使得A1B2⊥A1A2，B2B3⊥A2A3，…，Bn-1An⊥An-1An（其中A1，A2，A3，…，An，B2，B3，…，Bn-1都是整点），则称折线C′是折线C的一条共轭折线（说明：横、纵坐标均为整数的点成为整点）．
    （Ⅰ）请分别判断图（1），（2）中，虚折线是否是实折线的一条个，共轭折线；

    （Ⅱ）试判断命题“对任意的n∈N且n＞2，总存在一条折线C：A1-A2-…-An有共轭折线”的真假，并举例说明；
    （Ⅲ）如图（3），折线C：A1-A2-A3-A4，其中A1（0，0），A2（3，1），A3（6，0），A4（9，1）．求证：折线C无共轭折线．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    利用函数的单调性比较大小：
    （1）sin508°与sin144°；         
    （2）cos760°与cos（-770°）
    （3）tan（-
    π
    5
    ）与tan（-
    3π
    7
    ）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知线段PQ的端点Q的坐标是（4，3），端点P在圆x2+y2+2x-3=0上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    一个农技站为了考察某种麦穗长的分布情况，在一块试验地里抽取了100个麦穗，量得长度如下（单位：cm）：
    6.5　6.4　6.7　5.8　5.9　5.9　5.2　4.0　5.4　4.6
    5.8　5.5　6.0　6.5　5.1　6.5　5.3　5.9　5.5　5.8
    6.2　5.4　5.0　5.0　6.8　6.0　5.0　5.7　6.0　5.5
    6.8　6.0　6.3　5.5　5.0　6.3　5.2　6.0　7.0　6.4
    6.4　5.8　5.9　5.7　6.8　6.6　6.0　6.4　5.7　7.4
    6.0　5.4　6.5　6.0　6.8　5.8　6.3　6.0　6.3　5.6
    5.3　6.4　5.7　6.7　6.2　5.6　6.0　6.7　6.7　6.0
    5.6　6.2　6.1　5.3　6.2　6.8　6.6　4.7　5.7　5.7
    5.8　5.3　7.0　6.0　6.0　5.9　5.4　6.0　5.2　6.0
    6.3　5.7　6.8　6.1　4.5　5.6　6.3　6.0　5.8　6.3
    根据上面的数据列出频率分布表、绘出频率分布直方图，并估计长度在5.75～6.05cm之间的麦穗在这批麦穗中所占的百分比．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在锐角△ABC中，向量
    m
    =（2sinB，
    		3
    ），
    n
    =（2cos2
    B
    2
    -1，cos2B），且
    m
    ⊥
    n
    ，
    （Ⅰ）求B；
    （Ⅱ）求f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的单调减区间；
    （Ⅲ）若sinC=
    2
    3
    ，求cosA．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =（cos
    3
    2
    x，sin
    3
    2
    x），
    b
    =（cos
    x
    2
    ，-sin
    x
    2
    ），且x∈[0，
    π
    2
    ]，
    （1）求
    a
    •
    b
    及|
    a
    +
    b
    |；
    （2）求函数f（x）=
    a
    •
    b
    -2|
    a
    +
    b
    |的最小值；
    （3）若f（x）=
    a
    •
    b
    -λ|
    a
    +
    b
    |的最小值是-
    3
    2
    ，求实数λ的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    求函数y=
    x2
    x+3
    在x=2处的切线方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    5310被8除余数是
     
    ．

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