Question

在锐角△ABC中，向量

m

=（2sinB，

3

），

n

=（2cos²

B

2

-1，cos2B），且

m

⊥

n

，
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）求f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的单调减区间；
（Ⅲ）若sinC=

2

3

，求cosA．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（I）由

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=0，再利用倍角公式、两角和差的正弦公式即可得出；
（II）利用正弦函数的单调递减区间即可解出；
（III）利用三角函数的平方关系可得cosC=

1-sin2C

．再利用诱导公式、两角和差的余弦公式即可得出．

解答： 解：（I）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=2sinB(2cos2

B

2

-1)+

3

cos2B=0，化为2sinBcosB+

3

cos2B=0，
∴sin2B+

3

cos2B=0，化为sin(2B+

π

3

)=0，
∴2B+

π

3

=kπ（k∈Z），
∵B为锐角，∴B=

π

3

．
（II）f（x）=sin(2x-

π

3

)，
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，解得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]（k∈Z）．
（III）∵sinC=

2

3

，C为锐角，∴cosC=

1-sin2C

=

5

3

．
∴cosA=-cos（B+C）=-（cosBcosC-sinBsinC）
=-

1

2

×

5

3

+

3

2

×

2

3

=

2 3 - 5

6

．

点评：本题综合考查了向量垂直于数量积的关系、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性质、三角函数的平方关系、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．