Question

已知函数f（x）=lnx+

a

x+1

，a为常数．
（1）若a=

9

2

，求函数f（x）在[1，e]上的值域；（e为自然对数的底数，e≈2.72）
（2）若函数g（x）=f（x）+x在[1，2]上为单调减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的值域

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先利用导数求函数的极值、端点处函数值，比较它们大小关系，可得最小值、最大值；
（2）分离参数a后，构造函数求最值，利用导数可求最值；

解答： 解：（1）由题意f′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

，
当a=

9

2

时，f′(x)=

1

x

-

9 2

(x+1)2

=

(x-2)(2x-1)

2x(x+1)2

，
∵x∈[1，e]，∴f（x）在[1，2）上为减函数，[2，e]上为增函数，
又f(2)=ln2+

3

2

，f(1)=

9

4

，f(e)=1+

9

2e+2

，比较可得f（1）＞f（e），
∴f（x）的值域为[ln2+

3

2

，

9

4

]；
（2）由题意得g′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

+1≤0在x∈[1，2]恒成立，
∴a≥

(x+1)2

x

+(x+1)2=x2+3x+

1

x

+3恒成立，
设h(x)=x2+3x+

1

x

+3(1≤x≤2)，
则当1≤x≤2时h′(x)=2x+3-

1

x2

＞0恒成立，h（x）递增，
∴h(x)max=h(2)=

27

2

，
∴a≥

27

2

，即实数a的取值范围是[

27

2

，+∞)．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查恒成立问题，考查转化思想．