Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，PA=1．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求点C到平面PBD的距离．
（Ⅲ）求PC与平面PAD所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明BC⊥平面PAB，可得平面PBC⊥平面PAB；
（Ⅱ）利用V_C-PBD=V_P-BCD，可求点C到平面PBD的距离．
（Ⅲ）证明BD⊥平面PAD，求出点C到平面PAD的距离，即可求PC与平面PAD所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：∵AB=2BC=2CD=2，AB⊥BC，AB∥CD，
∴S_△BCD=

1

2

，BD=AD=

2

，
∵PA⊥底面ABCD，PA=1，
∴PD=

3

，PB=

5

，
∴BD²+PD²=PB²，
∴BD⊥PD，
∴S_△PBD=

1

2

×

2

×

3

=

6

2

设点C到平面PBD的距离为h，
∵V_C-PBD=V_P-BCD，
∴

1

3

×

6

2

h=

1

3

×

1

2

×1，
∴h=

6

6

；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，BD⊥PD，
又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵PA∩PD=P，
∴BD⊥平面PAD，
连接AC交BD于E，则CA=

5

，AE=

10

2

，DE=

2

2

，
由相似形可得，点C到平面PAD的距离=

CA×DE

AE

=1，
∵PC=

6

，
∴PC与平面PAD所成的角的正弦值是

6

6

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，结合有关定理进行证明即可，并且也有利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离等问题．