Question

已知x，y满足线性约束条件

x-y+1≥0 x+y-2≤0 x+4y+1≥0

，若

a

=（x，-2），

b

=（1，y），则z=

a

•

b

的最大值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,简单线性规划

专题：平面向量及应用

分析：z=

a

•

b

=x-2y，由z=x-2y，得y=x-

1

2

z，则-

1

2

z表示直线在y轴上的截距，则截距越大，z越小．作出不等式组表示的平面区域，数形结合能求出z取得的最大值，

解答： 解：∵x，y满足线性约束条件

x-y+1≥0 x+y-2≤0 x+4y+1≥0

，

a

=（x，-2），

b

=（1，y），
∴z=

a

•

b

=x-2y，
由z=x-2y，得y=x-

1

2

z，则-

1

2

z表示直线在y轴上的截距，则截距越大，z越小
作出不等式组表示的平面区域，如图所示：

直线z=x-2y过点C时，z取得最大值
由

x+4y+1=0 x+y-2=0

，解得C（3，-1），此时z=3-2×（-1）=5．
故答案为：5．

点评：本题考查向量的数量积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可行域的合理运用．