Question

已知函数f（x）=2

2

sin

π

8

xcos

π

8

x+2

2

cos²

π

8

x-

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期、对称中心及取最大值时的x的取值集合；
（2）若函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O为坐标原点，求sin∠POQ的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用周期公式求得其最小正周期，根据三角函数图象与性质求得其对称中心和取最大值时，x的集合．
（2）分别求得f（2），f（4），求得P，Q的坐标，|OP|，|PQ|，|OQ|可得，利用向量数量积求得cos∠POQ，则sin∠POQ可求得．

解答： 解：（1）f（x）=2

2

sin

πx

8

cos

πx

8

+

2

（2cos²

π

8

x-1）=

2

sin

π

4

x+

2

cos

π

4

x=2sin（

π

4

x+

π

4

），

所以，函数f（x）的最小正周期为T=

2π

π 4

=8．                      
由

π

4

x+

π

4

=kπ（k∈Z）得x=4k-1（k∈Z），
∴函数f（x）的对称中心为（4k-1，0）（k∈Z）            
由

π

4

x+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z）得x=4k+1（k∈Z），
∴函数f（x）的最大值时的x的取值集合{x|x=4k+1}（k∈z），
（2）∵f（2）=2sin（

π

2

+

π

4

）=2cos

π

4

=

2

，
f（4）=2sin（π+

π

4

）=-2sin

π

4

=-

2

，
∴P（2，

2

），Q（4，-

2

）                                          
∴|OP|=

6

，|PQ|=2

3

，|OQ|=3

2

从而cos∠POQ=

OP • OQ

|OP|•|OQ|

=

2×4+ 2 ×(- 2 )

6 ×3 2

=

3

3

         
∴sin∠POQ=

1-cos2∠POQ

=

6

3

．

点评：本题主要考查了三角函数式的化简，三角函数的性质，平面向量数量积的运算．