Question

已知f（x）=3x²-2x，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

3

anan+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出Sn=3n2-2n，由此能求出a_n=6n-5，n∈N^*．
（2）由bn=

3

anan+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，利用裂项求和法求出T_n=

1

2

-

1

2(6n+1)

＜

1

2

，由此能求出满足要求的最小整数m=10．

解答： 解：（1）∵f（x）=3x²-2x，数列{a_n}的前n项和为S_n，
点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，
∴Sn=3n2-2n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5，
当n=1时，a₁=S₁=3-2=1，满足上式，
∴a_n=6n-5，n∈N^*．
（2）由（1）得bn=

3

anan+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，
∴T_n=

1

2

(1-

1

7

+

1

7

-

1

13

+

1

13

-

1

19

+…+

1

6n-5

-

1

6n+1

)
=

1

2

-

1

2(6n+1)

＜

1

2

，
∴使得T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m必须且仅须满足

1

2

≤

m

20

，
即m≥10，∴满足要求的最小整数m=10．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查满足要求的最小整数n的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．