Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A（2，3），且离心率e=

1

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过点B（0，-4）的直线l交椭圆于不同的两点M、N，且满足

OM

•

ON

=

16

7

（其中点O为坐标原点），若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

c a = 1 2 4 a2 + 9 b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+4，联立

y=kx+4 x2 16 + y2 12 =1

，得（4k²+3）x²+32kx+16=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A（2，3），且离心率e=

1

2

，
∴

c a = 1 2 4 a2 + 9 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a=4，c=2，b=

16-4

=2

3

，
∴椭圆C的标准方程是

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）设直线l的方程存在，若l的斜率不存在，则M（0，2

3

），N（0，-2

3

），
此时

OM

•

ON

=12，不成立．
若l的斜率k存在，则l的方程为y=kx+4，
联立

y=kx+4 x2 16 + y2 12 =1

，得（4k²+3）x²+32kx+16=0，
△＞0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=-

32k

4k2+3

，x1x2=

16

4k2+3

，
y₁y₂=（kx₁+4）（kx₂+4）=k²x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16，
∵

OM

•

ON

=

16

7

，
∴x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16
=

16k2+16

4k2+3

-

128k2

4k2+3

+16=

16

7

，
解得k²=1．
∴直线l的方程为y=±x+4．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量的数量积的合理运用．