Question

各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，有2S_n=2a_n²+a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

4Sn

n+3

•2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出（a_n+1+a_n）（2a_n+1-2a_n-1）=0，从而得到数列{a_n}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由S_n=

n(n+3)

4

，知b_n=

4Sn

n+3

•2ⁿ=n•2ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由2Sn=2an2+an-1①
得2Sn+1=2an+12+an+1-1②
②-①，得2an+1=2(an+12-an2)+(an+1-an)，
即：2（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）-（a_n+1+a_n）=0，
∴（a_n+1+a_n）（2a_n+1-2a_n-1）=0，
∵数列{a_n}各项均为正数，∴2a_n+1-2a_n=1，即 an+1-an=

1

2

，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列，
∴数列{a_n}的通项公式是 an=1+(n-1)×

1

2

=

n+1

2

．…（6分）
（2）S_n=n+

n(n-1)

2

×

1

2

=

n(n+3)

4

，
∴b_n=

4Sn

n+3

•2ⁿ=n•2ⁿ，…（8分）
∴Tn=1×2+2×22+…+n•2n，①
2T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：
-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n×2n+1=-(n-1)•2n+1-2，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．