Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

1

Sn

，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）若数列{c_n}满足条件：c_n+1=a_cn+2ⁿ，又c₁=3，是否存在实数λ，使得数列{

cn+λ

2n

}为等差数列？

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）bn=

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和．
（3）假设存在这样的实数，满足条件，由

3+λ

2

，

9+λ

4

，

23+λ

8

成等差数列，求出λ=1，此时数列{

cn+1

2n

}是一个等差数列．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n，
n=1时，a₁=S₁=3，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，
n=1时也成立，
∴a_n=2n+1．
（2）bn=

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…(

1

n-2

-

1

n

)+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

9n2+15n

4(n+1)(n+2)

（3）cn+1=acn+2n，即cn+1=2cn+1+2n，
假设存在这样的实数，满足条件，
又c₁=1，c₂=2c₁+1+2=9，c3=2c2+1+22=23，

3+λ

2

，

9+λ

4

，

23+λ

8

成等差数列，
即2×

9+λ

4

=

3+λ

2

+

23+λ

8

，
解得λ=1，此时

cn+1+1

2n+1

-

cn+1

2n

=

cn+1=1-2(cn+1)

2×2n

=

cn+1-2cn-1

2×2n

=

1+2n-1

2×2n

=

1

2

，
数列{

cn+1

2n

}是一个等差数列，
∴λ=1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查使数列为等差数列的实数是否存在的判断与求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．