Question

已知函数f（x）=x³-ax²+3x；
（1）若函数在x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直，求实数a的值；
（2）若函数在区间[1，+∞）内为增函数，求实数a的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）由题意可得f′（1）=2，解方程可求a；
（2）函数在区间[1，+∞）内为增函数，等价于f′（x）≥0在[1，+∞）内恒成立，分离参数后化为函数最值即可，利用基本不等式可求最值；

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-2ax+3，
∵函数在x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直，
∴f′（1）=2，即3-2a+3=2，解得a=2．
（2）∵函数在区间[1，+∞）内为增函数，
∴f′（x）≥0即3x²-2ax+3≥0在[1，+∞）内恒成立，
∴a≤

3

2

（x+

1

x

），
而

3

2

(x+

1

x

)≥

3

2

•2

x• 1 x

=3，当且仅当x=1时取等号，
∴a≤3．

点评：该题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，考查恒成立，属中档题．