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(理科)已知函数,其中a为常数,且a<0.
(1)若f(x)是奇函数,求a的取值集合A;
(2)当a=-1时,设f(x)的反函数为f-1(x),且函数y=g(x)的图象与y=f-1(x+1)的图象关于y=x对称,求g(1)的取值集合B;
(3)对于问题(1)(2)中的A、B,当a∈{a|a<0,a∉A,a∉B}时,不等式x2-10x+9<a(x-4)恒成立,求x的取值范围.
【答案】分析:(1)由必要条件f(-1)+f(1)=0得a2-a-2=0,a<0,所以a=-1.当,任取x≠0,x∈R.==0恒成立.由此能求出集合A.
(2)当,得,互换x,y得,由此能求出集合B.
(3)原问题转化为g(a)=(x-4)a-(x2-10x+9)>0,a∈{a|a<0,a≠-1,a≠-4}恒成立则,由此能求出x的取值范围.
解答:解:(1)由必要条件f(-1)+f(1)=0得a2-a-2=0,a<0,
所以a=-1,…2分
下面证充分性,当
任取x≠0,x∈R.

==0恒成立…2分
由A={-1}.…1分
(2)当

互换x,y得,…1分
从而
所以g(1)=-4.…2分
即B={-4}.…1分
(3)原问题转化为
g(a)=(x-4)a-(x2-10x+9)>0,
a∈{a|a<0,a≠-1,a≠-4}恒成立,
…2分

则x的取值范围为{1,4}…2分
点评:本题考查函数的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
练习册系列答案
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(1)求证:f(x)的图象关于点(0,b)成中心对称图形;
(2)设直线PQ的斜率为k,求证:|k|<2;
(3)若0≤x1<x2≤1,求证:|y1-y2|<1.

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(理科)已知向量
a
=(sin2
π
6
x,cos2
π
6
x
),
b
=(sin2
π
6
x,-cos2
π
6
x
),g(x)=
a
b

(Ⅰ)求函数g(x)的解析式,并求其单调增区间;
(Ⅱ)若集合M={f(x)丨f(x)+f(x+2)=f(x+1),x∈R},试判断g(x)与集合M的关系.

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(理科做)已知函数f(x)=x3+ax+b定义在区间[-1,1]上,且f(0)=f(1).又P、Q是其图象上任意两点(x1≠x2).
(1)求证:f(x)的图象关于点(0,b)成中心对称图形;
(2)设直线PQ的斜率为k,求证:|k|<2;
(3)若0≤x1<x2≤1,求证:|y1-y2|<1.

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