Question

设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…，
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想出{a_n}的一个通项公式并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）由a₁=2，得a₂=a₁²-a₁+1=3
由a₂=3，得a₃=a₂²-2a₂+1=4
由a₃=4，得a₄=a₃²-3a₃+1=5
（1）用数学归纳法证明
①由a₁=2=1+1知n=1时，a_n=n+1成立
设n=k（k属于正整数）时a_n=n+1成立，即a_k=k+1
则当n=k+1时，因为a_n+1=a_n²-na_n+1，
所以a_k+1=a_k²-k（k+1）+1=（k+1）²-k（k+1）+1=k²+2k+1-k²-k+1=k+2
综上，a_n=n+1成立
分析：（1）由数列{a_n}满足：a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…及a₁=2，我们易得到a₂，a₃，a₄的值；
（2）由（1）可归纳数列中每一项的值与序号的关系，我们可以归纳推理出a_n的一个通项公式．使用数学归纳法，先证明n=1时，结论成立，再假设n=k时结论成立，进而论证n=k+1时，结论依然成立，从而得证．
点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．但归纳推理的结论不一定正确，我们要利用数学归纳法等方法对归纳的结论进行进一步的论证．