Question

已知集合S_n={X|X=(x₁，x₂，…，x_n)，x_i∈{0，1}，i=1，2，…，n}(n≥2)，对于A=(a₁，a₂，…，a_n)，B=(b₁，b₂，…，b_n)∈S_n，定义A与B的差为A-B=(|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…，|a_n-b_n|)；A与B之间的距离为d(A，B)=，
(Ⅰ)当n=5时，设A=(0，1，0，0，1)，B=(1，1，1，0，0)，求A-B，d(A，B) ；
(Ⅱ)证明：A，B，C∈S_n，有A-B∈S_n，且d(A-C，B-C)=d(A，B)；
(Ⅲ)证明：A，B，C∈S_n，d(A，B)，d(A，C)，d(B，C) 三个数中至少有一个是偶数．

Answer 1

解：(Ⅰ)A-B=(|0-1|，|1-1|，|0-1|，|0-0|，|1-0|)=(1，0，1，0，1)，
d(A，B)=|0-1|+|1-1|+|0-1|+|0-0|+|1-0|=3.
(Ⅱ)证明：设A=(a₁，a₂，…，a_n)，B=(b₁，b₂，…，b_n)，C=(c₁，c₂，…，c_n)∈S_n，
因为a_i，b_i∈{0，1}，
所以|a_i-b_i|∈{0，1}(i=1，2，…，n)．
从而A-B=(|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…，|a_n-b_n|)∈S_n，
又d(A-C，B-C)=||a_i-c_i|-|b_i-c_i||，
由题意知a_i，b_i，c_i∈{0，1}（i=1，2，…，n），
当c_i=0时，||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|a_i-b_i|；
当c_i=1时，||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|(1-a_i)-(1-b_i)|=|a_i-b_i|，
所以d(A-C，B-C)=。
(Ⅲ)证明：设A=(a₁，a₂，…，a_n)，B=(b₁，b₂，…，b_n)，C=(c₁，c₂，…，c_n)∈S_n，
d(A，B)=k，d(A，C)=l，d(B，C)=h，
记O=(0，0，…，0)∈Sn，
由(Ⅱ)可知d(A，B)=d(A-A，B-A)=d(0，B-A)=k，
d(A，C)=d(A-A，C-A)=d(0，C-A)=l，
d(B，C)=d(B-A，C-A)=h，
所以|b_i-a_i|(i=1，2，…，n)中1的个数为k，|c_i-a_i|(i=1，2，…，n)中1的个数为l，
设t是使|b_i-a_i|=|c_i-a_i|=1成立的i的个数，则h=l+k-2t，
由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，
即d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)三个数中至少有一个是偶数．