Question

（2013•西城区一模）已知集合Sn={X|X=(x1，x2，…，xn)，xi∈N*，i=1，2，…，n} (n≥2)．对于A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）∈S_n，定义

AB

=(b1-a1，b2-a2，…，bn-an)；λ（a₁，a₂，…，a_n）=（λa₁，λa₂，…，λa_n）（λ∈R）；A与B之间的距离为d(A，B)=

n

i=1

|ai-bi|．
（Ⅰ）当n=5时，设A=（1，2，1，2，5），B=（2，4，2，1，3），求d（A，B）；
（Ⅱ）证明：若A，B，C∈S_n，且?λ＞0，使

AB

=λ

BC

，则d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（Ⅲ）记I=（1，1，…，1）∈S₂₀．若A，B∈S₂₀，且d（I，A）=d（I，B）=13，求d（A，B）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 当n=5时，直接利用d(A，B)=

5

i=1

|ai-bi|，求得 d（A，B）的值．
（Ⅱ）设A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n），C=（c₁，c₂，…，c_n），则由题意可得?λ＞0，使得 
 b_i-a_i=λ（c_i-b_i），其中i=1，2，…，n，由此计算 d（A，B）+d（B，C）的结果，计算d（A，C）的结果，从而得出结论
（Ⅲ） 根据x，y∈R，则有|x+y|≤|x|+|y|，可得所以 d(A，B)=

20

i=1

|bi-ai| =

20

i=1

|(bi-1)+(1-ai)|  ≤

20

i=1

(|bi-1|+|1-ai| )，等号成立的条件为a_i=1，或b_i=1，从而得到 d（A，B）≤26，由此可得结论．

解答：（Ⅰ）解：当n=5时，由d(A，B)=

5

i=1

|ai-bi|，
得 d（A，B）=|1-2|+|2-4|+|1-2|+|2-1|+|5-3|=7，所以 d（A，B）=7．
（Ⅱ）证明：设A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n），C=（c₁，c₂，…，c_n）．
因为?λ＞0，使

AB

=λ

BC

，
所以?λ＞0，使得 （b₁-a₁，b₂-a₂，…，b_n-a_n）=λ（（c₁-b₁，c₂-b₂，…，c_n-b_n），
所以?λ＞0，使得 b_i-a_i=λ（c_i-b_i），其中i=1，2，…，n．
所以 b_i-a_i与c_i-b_i（i=1，2，…，n）同为非负数或同为负数．
所以 d(A，B)+d(B，C)=

n

i=1

|ai-bi|+

n

i=1

|bi-ci|
=

n

i=1

(|bi-ai|+|ci-bi|)=

n

i=1

|ci-ai| =d(A，C)．
（Ⅲ） 首先证明如下引理：设x，y∈R，则有|x+y|≤|x|+|y|．
证明：因为-|x|≤x≤|x|，-|y|≤y≤|y|，所以-（|x|+|y|）≤x+y≤|x|+|y|，
即|x+y|≤|x|+|y|．
所以 d(A，B)=

20

i=1

|bi-ai| =

20

i=1

|(bi-1)+(1-ai)|  ≤

20

i=1

(|bi-1|+|1-ai| ) 
=

20

i=1

|ai-1|+

20

i=1

|bi-1|=26．
上式等号成立的条件为a_i=1，或b_i=1，所以 d（A，B）≤26．
对于 A=（1，1，…，1，14），B=（14，1，1，…，1），有 A，B∈S₂₀，
且d（I，A）=d（I，B）=13，故d（A，B）=26．
综上，d（A，B）的最大值为26．

点评：本题主要考查新定义，两点间的距离公式，两个向量共线，绝对值不等式的性质应用，属于中档题．