Question

定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当-1≤x＜0时，f（x）=

2x

4x+1

（1）求f（x）在[-1，1]上解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并给予证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，然后结合已知的解析式、奇函数性质即可求出f（x）；
（2）利用定义先证明[0，1]上的单调性，然后结合奇函数性质可得函数在定义域上的单调性．

解答： 解：（1）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴当x=0时，f（x）=0；
当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），
所以f(x)=-f(-x)=

2x

1+4x

；
综上：f(x)=

2x 1+4x ，x∈(0，1] 0，x=0 - 2x 1+4x ，x∈[-1，0)

．
（2）证明：任取0＜x₁＜x₂≤1，
则f(x1)-f(x2)=

(2x1-2x2)(1-2x1+x2)

(1+4x1)(1+4x2)

，
又因为0＜x₁＜x₂≤1，所以2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，
且x₁+x₂＞0，得1-2x1+x2＜0，
所以f（x₁）＞f（x₂），所以函数f（x）在（0，1）上递减．

点评：本题考查了利用函数的奇偶性求解析式，利用单调性的定义证明函数在指定区间上的单调性的步骤．