Question

设函数f（x）=

a

•

b

，其中

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，-

3

sin2x）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若x∈（-

π

4

，0），求函数的值域．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,正弦函数的定义域和值域,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（1）由向量的运算和三角函数公式可得f（x）=1+2cos（2x+

π

3

），整体法易得单调区间；
（2）由x∈（-

π

4

，0），结合三角函数的运算可得值域．

解答： 解：（1）∵

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，-

3

sin2x），
∴f（x）=

a

•

b

=2cos²x-

3

sin2x
=1+cos2x-

3

sin2x
=1+2cos（2x+

π

3

）
由2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π可得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴函数的单调递减区间为：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z），
同理可得单调递增区间为[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]（k∈Z）；
（2）∵x∈（-

π

4

，0），∴2x+

π

3

∈（-

π

6

，

π

3

），
∴cos（2x+

π

3

）∈（

1

2

，1]，
∴1+cos（2x+

π

3

）∈（

3

2

，2]，
∴函数的值域为：（

3

2

，2]

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的单调性和值域，属中档题．