Question

在△ABC中，cosC=

3

10

，设向量

x

=（2sinB，-

3

），

y

=（cos2B，1-2sin²

B

2

），且

x

∥

y

，求sin（B-A）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平行向量与共线向量

专题：三角函数的求值

分析：由题意易得sin（A+B）和cos（A+B）的值，再由向量平行可得sin2B=

3

2

，cos2B=

1

2

，代入sin（B-A）=sin[2B-（A+B）]=sin2Bcos（A+B）-cos2Bsin（A+B），计算可得．

解答： 解：∵在△ABC中，cosC=

3

10

，
∴sin（A+B）=sinC=

1-cos2C

=

91

10

，
∴cos（A+B）=-cosC=-

3

10

，
又∵

x

=（2sinB，-

3

），

y

=（cos2B，1-2sin²

B

2

），且

x

∥

y

，
∴2sinB（1-2sin²

B

2

）=-

3

cos2B，
∴-2sinBcosB=-

3

cos2B，
∴sin2B=

3

cos2B，即tan2B=

sin2B

cos2B

=

3

，
∴2B=

π

3

，∴sin2B=

3

2

，cos2B=

1

2

∴sin（B-A）=sin[2B-（A+B）]
=sin2Bcos（A+B）-cos2Bsin（A+B）
=

3

2

×(-

3

10

)-

1

2

×

91

10

=-

3 3 + 91

20

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的平行关系，属中档题．