Question

在直角坐标系xOy中，已知定点A（-1，0），动点C在射线y=-x（x≤0）上运动，动点D在射线y=x（x≥0）上运动，且满足

AC

•

AD

=0．
（1）是否存在点C，使|

CD

|=

10

，若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由；
（2）求证∠ACD是为定值，且求出∠ACD的大小．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）假设存在点C，使|

CD

|=

10

．可设C（m，-m），D（n，n），（m≤0，n≥0），由向量的数量积的坐标运算和向量模的公式，可得m，n方程，解出即可；
（2）运用向量垂直的条件：数量积为0，求出AC，AD的长，判断三角形ACD的形状，进而得到∠ACD为定值，求出即可．

解答： 解：（1）假设存在点C，使|

CD

|=

10

．
可设C（m，-m），D（n，n），（m≤0，n≥0），

AC

=（m+1，-m），

AD

=（n+1，n），
由于

AC

•

AD

=0，则（m+1）（n+1）-mn=0，
即m+n=-1①
又|

CD

|=

10

，即

(n-m)2+(n+m)2

=

10

，
化简得m²+n²=5，②
由①②可得，m=-2，n=1．
则存在点C（-2，2），使|

CD

|=

10

．
（2）证明：由

AC

•

AD

=0，则AC⊥AD，
可设C（m，-m），D（n，n），（m≤0，n≥0），

AC

=（m+1，-m），

AD

=（n+1，n），
由于

AC

•

AD

=0，则（m+1）（n+1）-mn=0，
即m+n=-1，
则|

AC

|=

(m+1)2+m2

=

2m2+2m+1

，
|

AD

|=

(n+1)2+n2

=

(-1-m+1)2+(-1-m)2

=

2m2+2m+1

，
即有|

AC

|=|

AD

|，
则△ACD为等腰直角三角形，
则有∠ACD是为定值，且为45°．

点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，主要考查向量垂直的条件和向量模的公式，考查三角形的形状的判断进而求内角，属于中档题．