Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，且S_n+1=2S_n+1（n∈N^*），则a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由S_n+1=2S_n+1，当n≥2时，S_n=2S_n-1+1，可得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1），即a_n+1=2a_n，再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答： 解：由S_n+1=2S_n+1，当n≥2时，S_n=2S_n-1+1，
∴S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1），即a_n+1=2a_n，
∴

an+1

an

=2，
又a₁=1，得S₂=2a₁+1=3=a₁+a₂，
∴a₂=2，∴

a2

a1

=2，
因此n=1时也成立．
∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an=2n-1．

点评：本题考查了等比数列的定义及其通项公式，一般遇到数列的前n项和之间的递推公式，经常利用a_n=S_n-S_n-1进行转化求解．考查了推理能力与计算能力，属于中档题．