Question

8．构造等比数列：已知a₁=2，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，求{a_n}．

Answer 1

分析 把已知的数列递推式两边取倒数，可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}构成以$\frac{3}{2}$为首项，以$\frac{3}{2}$为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式后可得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，两边取倒数，得
$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3}{2}\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}+1=\frac{3}{2}（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$．
又$\frac{1}{{a}_{1}}+1=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}构成以$\frac{3}{2}$为首项，以$\frac{3}{2}$为公比的等比数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}+1=（\frac{3}{2}）^{n}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=（\frac{3}{2}）^{n}-1=\frac{{3}^{n}-{2}^{n}}{{2}^{n}}$，
则${a}_{n}=\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}-{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．