Question

17．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个非零向量，当$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$（t∈R）的模取最小值时，
①求t的值．
②已知$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$成45°角，求证$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$（t∈R）垂直．

Answer 1

分析 ①令m=|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$|，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为θ，对m²进行变形，然后利用二次函数的性质可得其取最小值时t的值；
②当$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$成45°角，cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，只需证明$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$）=0即可．

解答 解：①令m=|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$（t∈R），${\overrightarrow{m}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+{t}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}+2t|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|cosθ$，
所以当t=-$\frac{|\overrightarrow{a}|cosθ}{|\overrightarrow{b}|}$时，mmin=|$\overrightarrow{a}$|sinθ；
②证明：因为$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$成45°角，
t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$，
所以$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+t{\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$-$\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}×|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=0，
所以$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$（t∈R）垂直；

点评 本题考查利用平面向量的数量积证明向量垂直，属基础题．