Question

20．已知集合A={x|x≤1.5${\;}^{-\frac{1}{3}}$×（-$\frac{7}{6}$）⁰+8^0.25×$\root{4}{2}$+（$\root{3}{2}$×$\sqrt{3}$）⁶-$\sqrt{（\frac{2}{3}）^{\frac{2}{3}}}$}，集合B={x|x＞lg²5+lg2•lg50}，求A∩B．

Answer 1

分析 利用对数和指数幂的运算法则进行化简，求出结合A，B的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可．

解答 解：1.5${\;}^{-\frac{1}{3}}$×（-$\frac{7}{6}$）⁰+8^0.25×$\root{4}{2}$+（$\root{3}{2}$×$\sqrt{3}$）⁶-$\sqrt{（\frac{2}{3}）^{\frac{2}{3}}}$=$（\frac{2}{3}）^{\frac{1}{3}}$+${2}^{3×\frac{1}{4}}×{2}^{\frac{1}{4}}$+2²×3³-$（\frac{2}{3}）^{\frac{1}{3}}$
=${2}^{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}$+4×27=2+108=110，
即A={x|x≤110}，
lg²5+lg2•lg50=lg²5+lg2•（lg25+lg2）=lg²5+2lg2•lg5+lg²2=（lg2+lg5）²=lg²10=1，
即集合B={x|x＞lg²5+lg2•lg50}={x|x＞1}，
则A∩B={x|1＜x≤110}．

点评 本题主要考查集合的基本运算，根据指数幂和对数的运算法则进行化简是解决本题的关键．