Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，

    BP＝BC，E为PC的中点．

   （1）求证：AP∥平面BDE；

   （2）求证：BE⊥平面PAC．

 

Answer 1

 证：（1）设AC∩BD＝O，连结OE．

因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点．

因为E是PC中点，所以OE∥AP．        …………………………4分

因为AP平面BDE，OE平面BDE，

所以AP∥平面BDE．                 ………………………………6分

（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，

所以BC⊥平面PAB．                        ………………………8分

因为AP平面PAB，所以BC⊥PA．

因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面PBC，

所以PA⊥平面PBC．                        …………………12分

因为BE平面PBC，所以PA⊥BE．

因为BP＝PC，且E为PC中点，所以BE⊥PC．

因为PA∩PC＝P，PA，PC平面PAC，

所以BE⊥平面PAC．                      ………………………14分