Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，P，在椭圆E上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|=

9

5

，|PF₂|=

41

5

．
（1）求椭圆E方程；
（2）若直线l过圆M：x²+y²+6x-2y=0的圆心M，交椭圆E于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意可知2a=|PF₁|+|PF₂|=10，a=5，|F1F2|=

|PF2|2-|PF1|2

=8，由此可求出椭圆C的方程．
（2）设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．由题意x₁≠x₂分别代入椭圆的方程后作差，结合点差法再利用A、B关于点M对称，所以x₁+x₂=-6，y₁+y₂=2，代入③得直线l的斜率，由此可求出直线l的方程．

解答：解：（1）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF₁|+|PF₂|=10，a=5．
在Rt△PF₁F₂中，|F1F2|=

|PF2|2-|PF1|2

=8，
故椭圆的半焦距c=4，
从而b²=a²-c²=3，
所以椭圆C的方程为

x2

25

+

y2

9

=1．
（2）已知圆的方程为（x+3）²+（y-1）²=5，
所以圆心M的坐标为（-3，1）．
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由题意x₁≠x₂且

x12

25

+

y12

9

=1，①

x22

25

+

y22

9

=1，②
由①-②得

(x1-x2)(x1+x2)

25

+

(y1-y2)(y1+y2)

9

=0．③
因为A、B关于点M对称，
所以x₁+x₂=-6，y₁+y₂=2，
代入③得

y1-y2

x1-x2

=

27

25

，
即直线l的斜率为

27

25

，
所以直线l的方程为y-1=

27

25

（x+3），
即27x-25y+106=0．

点评：本题综合考查直线和圆、椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于中档题．