Question

13．已知函数f（x）=lnx-a（x-1）（其中a＞0，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{a}$x+a有唯一实根，求（1+lna）a²的值；
（Ⅱ）若过原点作曲线y=f（x）的切线l与直线y=-ex+1垂直，证明：$\frac{e-1}{e}$＜a＜$\frac{{e}^{2}-1}{e}$；
（Ⅲ）设g（x）=f（x+1）+e^x，当x≥0时，g（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设h（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²-（a-$\frac{1}{a}$）x，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值=-lna+$\frac{1}{{2a}^{2}}$-1=0；从而求出代数式的值；
（Ⅱ）求出切线l的方程，得到a═$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$，且lnx₁-1+$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$=0，令m（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{e}$，根据函数的单调性证明即可；
（Ⅲ）先求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性从而得到答案．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{a}$x+a，
∴lnx-$\frac{1}{2}$x²-（a-$\frac{1}{a}$）x=0，
设h（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²-（a-$\frac{1}{a}$）x，则h′（x）=-$\frac{（x+a）（x-\frac{1}{a}）}{x}$，
a＞0时，h（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递减，
则h（x）_max=h（$\frac{1}{a}$）=-lna+$\frac{1}{{2a}^{2}}$-1，
∵h（x）=0有唯一实根，
∴x₀=$\frac{1}{a}$且h（x）_max=h（$\frac{1}{a}$）=-lna+$\frac{1}{{2a}^{2}}$-1=0；
故1+lna=$\frac{1}{{2a}^{2}}$，∴（1+lna）a²=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）证明：∵过原点所作曲线y=f（x）的切线l与直线y=-ex+1垂直，
∴切线l的斜率为k=$\frac{1}{e}$，方程是y=$\frac{1}{e}$x，
设l与y=f（x）的切点为（x₁，y₁），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′{（x}_{1}）=\frac{1}{e}}\\{{y}_{1}=l{nx}_{1}-a{（x}_{1}-1）}\\{{y}_{1}={\frac{1}{e}x}_{1}}\end{array}\right.$，
∴a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$，且lnx₁-1+$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$=0，
令m（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{e}$，则m′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
∴m（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
若x₁∈（0，1），∵m（$\frac{1}{e}$）=-2+e-$\frac{1}{e}$＞0，m（1）=-$\frac{1}{e}$＜0，
∴x₁∈（$\frac{1}{e}$，1），
而a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$在x₁∈（$\frac{1}{e}$，1）递减，
∴$\frac{e-1}{e}$＜a＜$\frac{{e}^{2}-1}{e}$，
若x₁∈（1，+∞），∵m（x）在（1，+∞）递增，且m（e）=0，则x₁=e，
∴a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$=0（舍），
综上：$\frac{e-1}{e}$＜a＜$\frac{{e}^{2}-1}{e}$；
（Ⅲ）∵g（x）=f（x+1）+e^x=ln（x+1）-ax+e^x，
∴g′（x）=$\frac{1}{x+1}$-a+e^x，g″（x）=$\frac{{{e}^{x}（x+1）}^{2}-1}{{（x+1）}^{2}}$≥0，
①0＜a≤2时，∵g′（x）在[0，+∞）递增，
∴g′（x）≥g′（0）=2-a≥0，
∴g（x）在[0，+∞）递增，g（x）≥g（0）=1恒成立，符合题意，
②a＞2时，∵g′（x）在[0，+∞）递增，g′（0）=2-a＜0，
则存在x₀（0，+∞），使得g′（x₀）=0，
∴g（x）在（0，x₀）递减，在（x₀，+∞）递增，
又x∈（0，x₀）时，g（x）＜g（0）=1，
∴g（x）≥1不恒成立，不合题意，
综上，所求实数a的范围是（0，2]．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查了导数的应用，考查曲线的切线方程问题，是一道综合题．