Question

【题目】已知椭圆的离心率，是椭圆上一点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线的斜率为，且直线交椭圆于、两点，点关于原点的对称点为，点是椭圆上一点，判断直线与的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，0

【解析】

（1）根据题意可知，解方程组即可求出、，即可求解.

（2）设直线的方程为，代入椭圆，设点、，可得点，利用韦达定理以及两点求斜率化简即可求解.

（1）由题意知，

又离心率，所以，

于是有，

解得，．

所以椭圆的方程为；

（2）由于直线的斜率为．可设直线的方程为，

代入椭圆，可得．

由于直线交椭圆于、两点，

所以，

整理解得．

设点、，由于点与点关于原点对称，

故点，于是有，．

设直线与的斜率分别为，，由于点，

则

，

又，．

于是有

，

故直线与的斜率之和为0，即．