【题目】已知函数的图象经过点
,且在点
处的切线方程为
.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的单调区间
【答案】
【解析】
(1)求出导函数,题意说明
,
,
,由此可求得
;
(2)解不等式得增区间,解不等式
得减区间.
(1)∵f(x)的图象经过P(0,2),∴d=2,
∴f(x)=x3+bx2+ax+2,f'(x)=3x2+2bx+a.
∵点M(﹣1,f(﹣1))处的切线方程为6x﹣y+7=0
∴f'(x)|x=﹣1=3x2+2bx+a|x=﹣1=3﹣2b+a=6①,
还可以得到,f(﹣1)=y=1,即点M(﹣1,1)满足f(x)方程,得到﹣1+b﹣a+2=1②
由①、②联立得b=a=﹣3 故所求的解析式是f(x)=x3﹣3x2﹣3x+2.
(2)f'(x)=3x2﹣6x﹣3.令3x2﹣6x﹣3=0,即x2﹣2x﹣1=0.解得x1=1- ,x2=1+
.
当x<1-,或x>1+
时,f'(x)>0;当1-
<x<1+
时,f'(x)<0.
故f(x)的单调增区间为(﹣∞,1﹣),(1+
,+∞);单调减区间为(1﹣
,1+
)
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【题目】已知椭圆:
的长轴长为
,且椭圆
与圆
:
的公共弦长为
.
(1)求椭圆的方程.
(2)经过原点作直线(不与坐标轴重合)交椭圆于
,
两点,
轴于点
,点
在椭圆
上,且
,求证:
,
,
三点共线..
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【题目】已知如图1所示,在边长为12的正方形,中,
,且
,
分别交
于点
,将该正方形沿
,折叠,使得
与
重合,构成如图2 所示的三棱柱
,在该三棱柱底边
上有一点
,满足
; 请在图2 中解决下列问题:
(I)求证:当时,
//平面
;
(Ⅱ)若直线与平面
所成角的正弦值为
,求
的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程与圆
的直角坐标方程;
(2)设动点在圆
上,动线段
的中点
的轨迹为
,
与直线
交点为
,且直角坐标系中,
点的横坐标大于
点的横坐标,求点
的直角坐标.
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【题目】如图:椭圆的顶点为
,左右焦点分别为
,
,
(1)求椭圆的方程;
(2)过右焦点的直线
与椭圆
相交于
两点,试探究在
轴上是否存在定点
,使得
为定值?若存在求出点
的坐标,若不存在请说明理由?
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【题目】已知倾斜角为的直线经过抛物线
:
的焦点
,与抛物线
相交于
、
两点,且
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过点的两条直线
、
分别交抛物线
于点
、
和
、
,线段
和
的中点分别为
、
.如果直线
与
的斜率之积等于1,求证:直线
经过一定点.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点为极点,以轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为:
.
(1)若曲线参数方程为:
(
为参数),求曲线
的直角坐标方程和曲线
的普通方程;
(2)若曲线参数方程为:
(
为参数),
,且曲线
与曲线
交点分别为
,
,求
的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,锐角
的顶点为坐标原点
,始边为
轴的正半轴,终边与单位圆
的交点分别为
.已知点
的横坐标为
,点
的纵坐标为
.
(1)求的值;
(2)求的值.
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