Question

16．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象经过点（-2，0），且不等式2x≤f（x）≤$\frac{1}{2}$x²+2对一切实数x都成立．
（1）求f（2）的值；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）当x＜2时，不等式4f（x）＞xm-1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可令x=2，可得4≤f（2）≤4，即有f（2）=4；
（2）通过图象过一点得到a、b、c一关系式，由f（2）=4，又可得一关系式，再将b、c都有a表示．不等式2x≤f（x）≤$\frac{1}{2}$x²+2对一切实数x都成立可转化成两个一元二次不等式恒成立，即可解得；
（3）由题意可得mx＜x²+4x+5，在x＜2时恒成立，对x讨论，x=0，x＜0，0＜x＜2，运用参数分离和函数的单调性及基本不等式，即可得到m的范围．

解答 解：（1）∵不等式2x≤f（x）≤$\frac{1}{2}$x²+2对一切实数x都成立，
∴当x=2时也成立，即4≤f（2）≤4，
即有f（2）=4；
（2）根据二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象经过点（-2，0），
可得4a-2b+c=0 ①，
又f（2）=4，即4a+2b+c=4 ②．
由①②求得 b=1，4a+c=2，
∴f（x）=ax²+x+2-4a，
∴2x≤ax²+x+2-4a≤$\frac{1}{2}$x²+2，
即$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}-x+2-4a≥0}\\{（a-\frac{1}{2}）{x}^{2}+x-4a≤0}\end{array}\right.$恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{△}_{1}=1-4a（2-4a）≤0}\\{a-\frac{1}{2}＜0}\\{{△}_{2}=1-4（a-\frac{1}{2}）•（-4a）≤0}\end{array}\right.$．
求得a=$\frac{1}{4}$，∴c=2-4a=1，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$x²+x+1；
（3）当x＜2时，不等式4f（x）＞xm-1恒成立，
即为mx＜x²+4x+5，在x＜2时恒成立，
当x=0时，0＜5显然成立；
当x＜0时，m＞x+$\frac{5}{x}$+4恒成立，
由x+$\frac{5}{x}$+4≤-2$\sqrt{x•\frac{5}{x}}$+4=4-2$\sqrt{5}$，当且仅当x=-$\sqrt{5}$取得等号，
即有m＞4-2$\sqrt{5}$；
当0＜x＜2时，m＜x+$\frac{5}{x}$+4恒成立，
由x+$\frac{5}{x}$+4在（0，2）递减，即有x+$\frac{5}{x}$+4＞$\frac{17}{2}$，
即为m≤$\frac{17}{2}$，
综上可得m的范围是（4-2$\sqrt{5}$，$\frac{17}{2}$]．

点评 本题考查了函数恒成立问题，以及二次函数的性质，赋值法（特殊值法）可以使问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法．