【题目】已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn=1(n∈N),数列{bn}是公差d不等于0的等差数列,且满足:b1=
,而b2,b5,ba14成等比数列.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
【答案】(1),
;(2)
【解析】分析:(I)Sn=1(n∈N),n≥2时,Sn﹣1+
an﹣1=1,相减可得:an
﹣
an﹣1=0,化为:an=
an﹣1.利用等比数列的通项公式可得an.数列{bn}是公差d不等于0的等差数列,且满足:b1=
=1.由b2,b5,b14成等比数列.可得
=b2b14,(1+4d)2=(1+d)(1+13d),d≠0.解得d.即可得出;(Ⅱ)设cn=anbn=
,利用错位相减法即可得出.
详解:
(1)Sn=1(n∈N),n≥2时,Sn﹣1+
an﹣1=1,相减可得:an
﹣
an﹣1=0,化为:an=
an﹣1.
n=1时,a1+=1,解得a1=
.
∴数列{an}是等比数列,首项为,公比为
.∴an=
=2×
.
数列{bn}是公差d不等于0的等差数列,且满足:b1==1.
∵b2,b5,b14成等比数列.∴=b2b14,
∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d),d≠0.解得d=2.∴bn=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
(2)设cn=anbn=.
求数列{cn}的前n项和Tn=+……+
.
=
+……+
+
,
相减可得:Tn=
+4
﹣
=
+4×
﹣
,
化为:Tn=2﹣.
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【题目】已知是圆
上任意一点,过
作
轴的垂线段
,
为垂足.当点
在圆
上运动时,线段
中点
的轨迹为曲线
(包括点
和点
),
为坐标原点.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)直线与曲线
相切,且
与圆
相交于
两点,当
的面积最大时,试求直线
的方程.
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【题目】已知函数,其中
(1)当时,求函数
在
处的切线方程;
(2)若函数在定义域上有且只有一个极值点,求实数
的取值范围;
(3)若对任意恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】某校学生研究学习小组发现,学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化,老师讲课开始时,学生的兴趣激增;接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随后学生的注意力开始分散.设表示学生注意力指标.
该小组发现随时间
(分钟)的变化规律(
越大,表明学生的注意力越集中)如下:
(
且
).
若上课后第分钟时的注意力指标为
,回答下列问题:
()求
的值.
()上课后第
分钟和下课前
分钟比较,哪个时间注意力更集中?并请说明理由.
()在一节课中,学生的注意力指标至少达到
的时间能保持多长?
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【题目】如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,CC1=5,E是棱CC1上不同于端点的点,且.
(1) 当∠BEA1为钝角时,求实数λ的取值范围;
(2) 若λ=,记二面角B1-A1B-E的的大小为θ,求|cosθ|.
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【题目】如图,已知椭圆的右准线
的方程为
,焦距为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过定点作直线
与椭圆
交于点
(异于椭圆
的左、右顶点
)两点,设直线
与直线
相交于点
.
①若,试求点
的坐标;
②求证:点始终在一条直线上.
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【题目】(本题满分12分)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合,且两个坐标系的单位长度相同.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为
.
(Ⅰ)若直线l的斜率为-1,求直线l与曲线C交点的极坐标;
(Ⅱ)若直线l与曲线C相交弦长为,求直线l的参数方程(标准形式).
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【题目】已知椭圆E: 的左焦点为
,且过点
.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆E交于
两点,与
的交点为
,且满足.
①若,求:
的值;
②设点是椭圆E的左顶点,点
关于
轴的对称点为点
,试探究:在线段
上是否存在一个定点
,使得直线
过定点
,如果存在,求出点
的坐标;如果不存在,请说明理由。
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