Question

【题目】已知椭圆E: 的左焦点为,且过点.

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设直线与椭圆E交于两点，与的交点为，且满足.

①若,求： 的值；

②设点是椭圆E的左顶点，点关于轴的对称点为点，试探究：在线段上是否存在一个定点，使得直线过定点，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）① ②故存在使得直线过定点。

【解析】试题分析：（1）由点在椭圆上及焦点坐标，利用定义，可得，进而得方程；

（2）①设, ，直线与椭圆联立得: ，由得，进而利用韦达定理求解即可；

②假设存在使得直线过定点。则，由，利用坐标表示，结合韦达定理求解即可.

试题解析：

(Ⅰ)因为焦点为， ，又椭圆过，

取椭圆的右焦点， ，由得，

所以椭圆的方程为

（Ⅱ）①设, ,

因为直线与椭圆交于两点，

由得:

得, ,（1）

（2）

由（1）（2）解得：

符合,所以,

解得,

②假设存在使得直线过定点。则

则

又， 即

因为， ，

即得：

故存在使得直线过定点。