Question

【题目】（本题满分12分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为．

（Ⅰ）若直线l的斜率为-1，求直线l与曲线C交点的极坐标；

（Ⅱ）若直线l与曲线C相交弦长为，求直线l的参数方程（标准形式）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）（为参数）或（为参数）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由直线的参数方程可知其过定点，从而由直线方程的点斜式可得直线的普通方程，将曲线的极坐标方程按照极坐标和直角坐标互化公式将其化为直角坐标方程，然后将直线方程和曲线方程联立求交点的直角作标，再将其化为极坐标． （Ⅱ）设出直线的斜率写出直线方程的直角坐标方程，由（Ⅰ）知曲线时圆心为半径为的圆．先求圆心到直线的距离，再根据勾股定理可得关于的方程，从而可求得的值．即可知直线的倾斜角，从而可得直线的参数方程．

试题解析：解：（Ⅰ）直线的方程：，即；（1分）

，即，（2分）

联立方程得，∴；（4分）

极坐标为；（5分）

（Ⅱ），弦心距，（6分）

设直线l的方程为，∴ ，∴或．（8分）

∴直线： （为参数）或 （为参数）（10分）