【题目】已知数列,
都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列
.
(1)设数列、
分别为等差、等比数列,若
,
,
,求
;
(2)设的首项为1,各项为正整数,
,若新数列
是等差数列,求数列
的前
项和
;
(3)设(
是不小于2的正整数),
,是否存在等差数列
,使得对任意的
,在
与
之间数列
的项数总是
?若存在,请给出一个满足题意的等差数列
;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)49;(2)或
;(3)首项
,公差
的等差数列
符合题意.
【解析】试题分析:
(1)由题意可得 ;
(2)由题意可得等比数列的项都是等差数列
中的项,所以
. 数列
的前
项和
或
.
(3) 存在等差数列,只需首项
,公差
.利用题中的结论可证得此命题成立.
试题解析:
解:(1)设等差数列的公差为
,等比数列
的公比为
,
由题意得, ,解得
或
,因数列
单调递增,
所以,所以
,
,所以
,
. 因为
,
,
,
,
所以.
(2)设等差数列的公差为
,又
,且
,
所以,所以
. 因为
是
中的项,所以设
,即
.
当时,解得
,不满足各项为正整数;
当时,
,此时
,只需取
,而等比数列
的项都是等差数列
中的项,所以
;
当时,
,此时
,只需取
,
由,得
,
是奇数,
是正偶数,
有正整数解,
所以等比数列的项都是等差数列
中的项,所以
. 综上所述,数列
的前
项和
或
.
(3)存在等差数列,只需首项
,公差
.
下证与
之间数列
的项数为
. 即证对任意正整数
,都有
,
即成立.
由,
.
所以首项,公差
的等差数列
符合题意.
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【题目】从参加某次高中英语竞赛的学生中抽出100名,将其成绩整理后,绘制频率分布直方图(如图所示).其中样本数据分组区间为: ,
,
,
,
,
.
(Ⅰ)试求图中的值,并计算区间
上的样本数据的频率和频数;
(Ⅱ)试估计这次英语竞赛成绩的众数、中位数及平均成绩(结果精确到).
注:同一组数据用该组区间的中点值作为代表
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,椭圆E的中心为坐标原点,焦点在
轴上,且
在抛物线
的准线上,点
是椭圆E上的一个动点,
面积的最大值为
.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)过焦点作两条平行直线分别交椭圆E于
四个点.
①试判断四边形能否是菱形,并说明理由;
②求四边形面积的最大值.
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【题目】(本题满分12分)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合,且两个坐标系的单位长度相同.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为
.
(Ⅰ)若直线l的斜率为-1,求直线l与曲线C交点的极坐标;
(Ⅱ)若直线l与曲线C相交弦长为,求直线l的参数方程(标准形式).
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【题目】图1,平行四边形中,
,
,现将
沿
折起,得到三棱锥
(如图2),且
,点
为侧棱
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)求三棱锥的体积;
(3)在的角平分线上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求
的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验,经过分析推断得到的,在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现,企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.
(Ⅰ)天气预报说,在今后的四天中,每一天降雨的概率均为,求四天中至少有两天降雨的概率;
(Ⅱ)经过数据分析,一天内降雨量的大小(单位:毫米)与其出售的快餐份数
成线性相关关系,该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下:
降雨量(毫米) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
快餐数(份) | 50 | 85 | 115 | 140 | 160 |
试建立关于
的回归方程,为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费,预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数.(结果四舍五入保留整数)
附注:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
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【题目】2016年5月20日,针对部分“二线城市”房价上涨过快,媒体认为国务院常务会议可能再次确定五条措施(简称“国五条”).为此,记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查,随机抽取了人,作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图),同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表):
月收入(百元) | 赞成人数 |
(1)试根据频率分布直方图估计这人的中位数和平均月收入;
(2)若从月收入(单位:百元)在的被调查者中随机选取
人进行追踪调查,求被选取的
人都不赞成的概率.
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【题目】已知椭圆过点
,顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为
,点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)已知点,是椭圆
上的两点.
(ⅰ)若,且
为等边三角形,求
的面积;
(ⅱ)若,证明:
不可能为等边三角形.
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