【题目】已知椭圆过点
,顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为
,点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)已知点,是椭圆
上的两点.
(ⅰ)若,且
为等边三角形,求
的面积;
(ⅱ)若,证明:
不可能为等边三角形.
【答案】(I);(II)详见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据面积公式得到,以及点在曲线上,代入得到
,以及
,求得
;(Ⅱ)(ⅰ)根据等边三角形的性质,可得直线
的倾斜角是
或
,这样求得直线
的方程,联立椭圆方程,得到点
的坐标,求得面积;(ⅱ)因为
,所以斜率存在,设直线
的方程是
,与椭圆方程联立,得到根与系数的关系,并且表示线段
中点
的坐标,若是等边三角形,则
,可求得
,不合题意.
试题解析:(Ⅰ)依题意, ,
,联立两式,解得
,
,故椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)(ⅰ)由且
为等边三角形及椭圆的对称性可知,直线
和直线
与
轴的夹角为
,由
可得
.
即或
,当
时,
的面积为
;
当时,
的面积为
.
(ⅱ)因为,故直线
斜率存在,设直线
,
中点为
,联立
消去
得,
由得到
,①
所以,
,
所以.
又,若
为等边三角形,则有
,
即,即
,化简得
,②
由②得点横坐标为
,不合题意.
故不可能为等边三角形.
(用点差法求点坐标也可)
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【题目】已知数列,
都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列
.
(1)设数列、
分别为等差、等比数列,若
,
,
,求
;
(2)设的首项为1,各项为正整数,
,若新数列
是等差数列,求数列
的前
项和
;
(3)设(
是不小于2的正整数),
,是否存在等差数列
,使得对任意的
,在
与
之间数列
的项数总是
?若存在,请给出一个满足题意的等差数列
;若不存在,请说明理由.
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【题目】《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论术比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深1寸,锯道长1尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦尺,弓形高
寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )
(注:1丈=10尺=100寸, ,
)
A. 633立方寸 B. 620立方寸 C. 610立方寸 D. 600立方寸
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【题目】如图所示,M、N、K分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中点.求证:
(1)AN∥平面A1MK;
(2)MK⊥平面A1B1C.
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【题目】服装厂拟在2017年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)万件与年促销费用
(
)万元满足
.已知
年生产该产品的固定投入为
万元,每生产
万件该产品需要投入
万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的
倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).
(1)将2017年该产品的利润万元表示为年促销费用
万元的函数;
(2)该服装厂2017年的促销费用投入多少万元时,利润最大?
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【题目】已知动点到直线
的距离是它到点
的距离的
倍.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)设轨迹上一动点
满足:
,其中
是轨迹
上的点,且直线
与
的斜率之积为
,若
为一动点,
,
为两定点,求
的值.
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【题目】如图,在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥PB;
(Ⅱ)求证:PB∥平面AEC.
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