Question

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x+a|
（1）a=-3时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）＞a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）a=-3时，由f（x）=|2x+1|+|2x-3|≤6，通过对x取值范围的讨论，去掉原不等式中的绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取其并即可；
（2）利用绝对值不等式的几何意义，可得|2x+1|+|2x+a|≥|2x+1-（2x+a）|=|1-a|，从而可求得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵a=-3时，f（x）=|2x+1|+|2x-3|≤6，
∴

x＞ 3 2 (2x+1)+(2x-3)≤6

或

- 1 2 ≤x≤ 3 2 (2x+1)-(2x-3)≤6

或

x＜- 1 2 -(2x+1)-(2x-3)≤6

，
解得

3

2

＜x≤2或-

1

2

≤x≤

3

2

或-1≤x＜-

1

2

，
即原不等式的解集为：{x|-1≤x≤2}…（5分）
（2）∵|2x+1|+|2x+a|≥|2x+1-（2x+a）|=|1-a|，
∴a＜

1

2

…（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查通过分类讨论去掉原不等式中绝对值符号的应用，考查恒成立问题与运算求解能力，属于中档题．