Question

对于定义在D上的函数y=f（x），若存在x₀∈D，对任意的x∈D，都有f（x）≥f（x₀）或者f（x）≤f（x₀），则称f（x₀）为函数f（x）在区间D上的“下确界”或“上确界”．
（Ⅰ）求函数f（x）=ln（2-x）+x²在[0，1]上的“下确界”；
（Ⅱ）若把“上确界”减去“下确界”的差称为函数f（x）在D上的“极差M”，试求函数F（x）=x|x-2a|+3（a＞0）在[1，2]上的“极差M”；
（Ⅲ）类比函数F（x）的“极差M”的概念，请求出G（x，y）=（1-x）（1-y）+

x

1+y

+

y

1+x

在D={（x，y）|x，y∈[0，1]}上的“极差M”．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由“下确界”的定义知，即求最小值，利用导数可求；
（Ⅱ）由“极差”定义，借助F（x）的图象，从左至右分6种情况讨论即可：①当0＜a≤

1

2

时，②当

1

2

＜a≤

5

6

时，③当

5

6

＜a≤1时，④当1＜a＜

3

2

时，⑤当

3

2

≤a≤2时，⑥当a＞2时；
（Ⅲ）由G（x，y）=

1+x+y+x2y2

(1+x)(1+y)

=1-

xy(1-xy)

(1+x)(1+y)

≤1，可得G（x，y）的最大值为1．令T=

xy(1-xy)

(1+x)(1+y)

，t=

xy

，则

xy(1-xy)

1+x+y+xy

≤

xy(1-xy)

1+2 xy +xy

=

t2(1-t2)

(1+t)2

=

t2(1-t)

1+t

，t∈[0，1]，令g（t）=

t2(1-t)

1+t

，利用导数可求得g（t）的最大值，进而可得T的最小值；

解答： 解：（Ⅰ） 令f′（x）=

-1

2-x

+2x=0，则2x²-4x+1=0，∴x1=1-

2

2

＜1＜x2=1+

2

2

，
显然，x₁∈[0，1]，列表有：

x	0	（0，x1）	x1	（x1，1）	1
f′（x）		-	0	+
f（x）	ln2	↘	极小值	↗	1

∴f（x）在[0，1]上的“下确界”为f（x₁）=ln（1+

2

2

）+

3

2

-

2

．
（Ⅱ）F（x）=x|x-2a|+3=

-x2+2ax+3，x≤2a x2-2ax+3，x＞2a

，
①当0＜a≤

1

2

时，F（x）_max=F（2），F（x）_min=F（1），
极差M=F（2）-F（1）=3-2a；
②当

1

2

＜a≤

5

6

时，F（x）_max=F（2），F（x）_min=F（2a），
极差M=F（a）-F（2a）=4-4a；
③当

5

6

＜a≤1时，F（x）_max=F（1），F（x）_min=F（2a），极差M=F（a）-F（2）=2a-1；
④当1＜a＜

3

2

时，F（x）_max=F（a），F（x）_min=F（2），
极差M=F（a）-F（2）=（a-2）²；
⑤当

3

2

≤a≤2时，F（x）_max=F（a），F（x）_min=F（1），极差M=F（a）-F（1）=（a-1）²；
⑥当a＞2时，F（x）_max=F（2），F（x）_min=F（1），
极差M=F（2）-F（1）=2a-3．
综上所述：M=

3-2a，0＜a≤ 1 2 4-4a， 1 2 ＜a≤ 5 6 2a-1， 5 6 ＜a≤1 (a-2)2，1＜a≤ 3 2 (a-1)2， 3 2 ＜a≤2 2a-3，a＞2

；
（Ⅲ）∵G（x，y）=

1+x+y+x2y2

(1+x)(1+y)

=1-

xy(1-xy)

(1+x)(1+y)

≤1，
当xy=0或xy=1时等号成立，∴G（x，y）的最大值为1．   
令T=

xy(1-xy)

(1+x)(1+y)

，t=

xy

，则

xy(1-xy)

1+x+y+xy

≤

xy(1-xy)

1+2 xy +xy

=

t2(1-t2)

(1+t)2

=

t2(1-t)

1+t

，t∈[0，1]，
令g（t）=

t2(1-t)

1+t

，则g′（t）=

(2t-3t2)(1+t)-(t2-t3)

(1+t)2

=

-2t(t- -1- 5 2 )(t- -1+ 5 2 )

(1+t)2

，
令g′（t）=0，得t=

-1+ 5

2

是g（t）的极大值点，也是g（t）的最大值点，
∴g（t）≤g(

-1+ 5

2

)=

5 5 -11

2

，从而T≤

5 5 -11

2

，
∴G（x，y）≥1-

5 5 -11

2

=

13-5 5

2

，
当x=y=

-1+ 5

2

时等号成立，∴G（x，y）的最小值为

13-5 5

2

．
由此M=

5 5 -11

2

．

点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查二次函数及不等式等知识，考查学生的阅读理解新知识的能力及解决问题的能力，综合性强，难度大，能力要求高．