Question

已知函数f（x）=2cosx•sin（

π

6

+x）（x∈R）
（1）求f（x）在[0，π]上的单调增区间；
（2）△ABC中，f（C）=1，且边长c=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：常规题型,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：第（1）问求三角函数的单调区间，要先把函数化成y=Asin（ωx+φ）+B的形式，然后再根据正弦函数的单调区间求解；第（2）问根据f（C）=1求出角C，然后利用面积公式写出面积表达式，结合余弦定理和基本不等式求三角形面积的最大值．

解答： 解：（1）f（x）=2cosx•sin（

π

6

+x）
=2cosx（

1

2

cosx+

3

2

sinx）
=cos²x+

3

sinxcosx
=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x
=-sin（2x+

π

6

）+

1

2

由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ（k∈Z）
∵x∈[0，π]
所以函数f（x）在[0，π]上的单调增区间为[

π

6

，

2π

3

]．
（2）由f（C）=-sin（2C+

π

6

）+

1

2

=1得
sin（2c+

π

6

）=-

1

2

，解得C=

π

2

或C=

5π

6

∵S=

1

2

absinC
又∵cosC=

a2+b2-4

2ab

要使面积取到最大值，则C=

π

2

，
所以a²+b²=4，所以ab≤2，
所以S_max=

1

2

×2×1=1．

点评：本题考查了求三角函数的单调区间，关键是利用三角恒等变换化成标准形式；求三角形面积的最大值，关键是选择适当的面积公式结合正、余弦定理和基本不等式进行求解．