Question

已知数列{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，且满足a₁+a₂+a₃=9，b₁b₂b₃=27．
（1）若a₄=b₃，b₄-b₃=m．
①当m=18时，求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
②若数列{b_n}是唯一的，求m的值；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃均为正整数，且成等比数列，求数列{a_n}的公差d的最大值．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）①由已知a₁+a₂+a₃=9，b₁b₂b₃=27，求出a₂=3，b₂=3，从而建立方程组，即可求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
②设b₄-b₃=m，得3q²-3q=m，即3q²-3q-m=0，分类讨论，可得结论；
（2）设{b_n}公比为q，则有36=（3-d+

3

q

）（3+d+3q），（**），记m=3-d+

3

q

，n=3+d+3q，则mn=36．将（**）中的q消去，即可得出结论．

解答： 解：（1）①由数列{a_n}是等差数列及a₁+a₂+a₃=9，得a₂=3，
由数列{b_n}是等比数列及b₁b₂b₃=27，得b₂=3．                              …（2分）
设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，
若m=18，
则有

3+2d=3q 3q2-3q=18

解得

d=3 q=3

或

d=- 9 2 q=-2

，
所以，{a_n}和{b_n}的通项公式为a_n=3n-3，b_n=3^n-1或a_n=-

9

2

n+12，b_n=3•（-2）^n-2…（4分）
②由题设b₄-b₃=m，得3q²-3q=m，即3q²-3q-m=0（*）．
因为数列{b_n}是唯一的，所以
若q=0，则m=0，检验知，当m=0时，q=1或0（舍去），满足题意；
若q≠0，则（-3）²+12m=0，解得m=-

3

4

，代入（*）式，解得q=

1

2

，
又b₂=3，所以{b_n}是唯一的等比数列，符合题意．
所以，m=0或-

3

4

．                                                      …（8分）
（2）依题意，36=（a₁+b₁） （a₃+b₃），
设{b_n}公比为q，则有36=（3-d+

3

q

）（3+d+3q），（**）
记m=3-d+

3

q

，n=3+d+3q，则mn=36．
将（**）中的q消去，整理得：d²+（m-n）d+3（m+n）-36=0                …（10分）
d的大根为

n-m+ (m-n)2-12(m+n)+144

2

=

n-m+ (m+n-6)2-36

2

而m，n∈N^*，所以 （m，n）的可能取值为：
（1，36），（2，18），（3，12），（4，9），（6，6），（9，4），（12，3），（18，2），（36，1）．
所以，当m=1，n=36时，d的最大值为

35+5 37

2

．                         …（16分）

点评：本题主要考查了等差数列、等比数列的性质及通项公式的应用，等比数列的性质的综合应用及一定的逻辑推理运算的能力，属于难题．