Question

某商店商品每件成本10元，若售价为25元，则每天能卖出288件，经调查，如果降低价格，销售量可以增加，且每天多卖出的商品件数t与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤15）的关系是t=6x²．
（1）将每天的商品销售利润y表示成x的函数；
（2）如何定价才能使每天的商品销售利润最大？

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2）利用导数求函数的最大值即可解决．

解答： 解：（1）设商品降价x元，记商品每天的获利为f（x），则依题意得
f（x）=（25-10-x）（288+6x²）=（15-x）（288+6x²）=-6x³+90x²-288x+4320（0≤x≤15）----------（6分）
（2）根据（1），有f′（x）=-18x²+180x-288=-18（x-2）（x-8）．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表：

x	[0，2）	2	（2，8）	8	（8，15]
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小	单调递增	极大	单调递减

故x=8时，f（x）取得极大值．因为f（8）=4704，f（0）=4320，
所以定价为25-8=17元能使一天的商品销售利润最大．----------（12分）

点评：本题主要考查导数在实际问题中的应用，考查利用导数求函数的最值问题，属中档题．