Question

【题目】设函数.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）若，对于给定实数，总存在实数，使得关于的方程恰有3个不同的实数根.

（i）求实数的取值范围；

（ii）记，求证：.

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间是，；（2）（i）；（ii）证明见详解.

【解析】

（1）当，，当时，可知，此时无单调递减区间；当时，令，可得，再根据为偶函数，即可求出函数 的单调递减区间；

（2）（i），令，则，令，利用导数可得；再分别对和，两种情况分类讨论，根据函数的单调性和奇偶性以及对称性进行分析，即可求出结果；

（ii）由的四个根为，，，，不妨设，由于为偶函数，则，化简整理可得，令，，令，根据导数在函数单调性和最值的应用，即可求证结果.

（1）当，，当，；当，，∴.

又为偶函数，∴当时，的单调递减区间是，，

当时，无单调递减区间.

（2）（i）

，令，

则，

令，，

∴在递减，递增，递减，递增.

.

①当时，可得，此时，所以在递减，在递增，则至多2个零点，不符合题意.

②当，则有4个不同实根，即时，有2个不同实根，此时.

其中，（极大），，设的4个实根为，则极大，极小，极大，极小，由于为奇函数，所以极值关于原点对称，，

，∴，当时有3个零点.

（ii）由的四个根为，，，，不妨设，由于为偶函数，则，，

∴，

令，，

令，，所以单调递增，

，所以，单调递增，则，

所以，.