Question

（2013•青岛一模）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+

b

x

，函数f（x）的图象与x轴的交点也在函数g（x）的图象上，且在此点有公切线．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）试比较f（x）与g（x）的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函数f（x）的图象与x轴的交点坐标（1，0），代入函数g（x）后得到关于a，b的等式，再由两函数在（1，0）处由公切线，得到关于a，b的另一等式，两式联立即可求得a，b的值；
（Ⅱ）令辅助函数F（x）=f（x）-g（x），把函数f（x）和g（x）的解析式代入，整理后求出其导函数，由导函数可知F（x）在定义域（0，+∞）内是减函数，然后分0＜x＜1，x=1，x＞1进行大小比较．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=lnx=0，得x=1，所以函数f（x）=lnx的图象与x轴的交点坐标是（1，0），
依题意，得g（1）=a+b=0  ①
又f′(x)=

1

x

，g′(x)=a-

b

x2

，∵f（x）与g（x）在点（1，0）处有公切线，
∴g^′（1）=f^′（1）=1，即a-b=1  ②
由①、②得a=

1

2

，b=-

1

2

；  
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x），
则F(x)=lnx-(

1

2

x-

1

2x

)=lnx-

1

2

x+

1

2x

，
函数F（x）的定义域为（0，+∞）．
∵F′(x)=

1

x

-

1

2

-

1

2x2

=-

1

2

(

1

x

-1)2≤0，
∴函数F（x）在（0，+∞）上为减函数．
当0＜x＜1时，F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x）；
当x=1时，F（x）=F（1）=0，即f（x）=g（x）；
当x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即f（x）＜g（x）．
综上可知，当0＜x≤1时，f（x）≥g（x）；当x＞1时，f（x）＜g（x）．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了构造函数法比较两个函数值的大小，考查了分类讨论得数学思想方法，属中档题．