Question

16．某公司销售A，B两种产品，销售A种产品x元，可获利$\frac{1}{4}$x元，销售B种产品与投入资金的算术平方根成正比，已知投入4万元可产生利润1万元．
（1）求销售B种产品所得利润关于投资金额的函数表达式；
（2）现有10万元资金，如何投入A，B两种产品的销售才能获得最大利润？并求出利润．

Answer 1

分析 （1）利用销售B种产品与投入资金的算术平方根成正比，已知投入4万元可产生利润1万元，可得销售B种产品所得利润关于投资金额的函数表达式；
（2）分别求出投入A，B两种产品的销售获得利润，利用换元法求出最大值．

解答 解：（1）设销售B种产品投入资金t万元，则销售B种产品所得利润L=k$\sqrt{t}$，
∵投入4万元可产生利润1万元，
∴1=2k，∴k=$\frac{1}{2}$，
∴L=$\frac{1}{2}\sqrt{t}$；
（2）y=$\frac{1}{2}$$\sqrt{t}$+$\frac{1}{4}$（10-t），（0＜t＜10）
设$\sqrt{t}$=x（0＜x＜$\sqrt{10}$），则y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$=-$\frac{1}{4}（x-1）^{2}+\frac{11}{4}$，
∴x=1时，y取得最大值为$\frac{11}{4}$万元，投入A，B两种产品的销售分别为1万元，9万元．

点评 本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及函数的最值的求解，同时考查了计算能力，属于中档题．