Question

12．一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻两人之间至少有2个空椅子，共有60种不同的坐法．（用数字作答）

Answer 1

分析 根据题意，先将3人全排列，排好后有2个空位，将4张空椅子分成2组，插入空位，再将剩余的两把椅子插入，分“分别插入两个空位”与“插入同一个空位”两种情况分析，进而由分步计数原理，可得答案．

解答 解：根据题意，用×表示人，用□表示空椅子，
先将3人全排列，排好后有2个空位，将4张空椅子分成2组，插入空位，
排列如图（×□□×□□×），这时共占据了7张椅子，
还有2张空椅子，分2种情况讨论：
①将剩余的2张椅子分别插入两个空位，
如图中箭头所示（↓×□↓□×□↓□×↓），
即从4个空当中选2个插入，有C₄²种插法；
②2张插入同一个空位，有C₄¹种插法，
再考虑3人可交换有A₃³种方法，
所以，共有A₃³（C₄²+C₄¹）=60（种）．
故答案为：60．

点评 本题考查排列、组合的应用，注意要先满足“相邻2人之间至少有2个空座位”的条件．