Question

17．已知二次函数f（x）=x²+mx-m（x∈R）同时满足：
①在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得f（x₁）＞f（x₂）成立；
②不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=f（n），n≥1，n∈N．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设${b_n}={（\sqrt{2}）^{{a_n}+5}}$，${c_n}=\frac{{6b_n^2+{b_{n+1}}-{b_n}}}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，{c_n}的前n项和为T_n，若T_n＞3n+k对任意n∈N，且n≥2恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，得：△=0，解得m=0或m=-4，对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可求出f（x）的表达式；
（2）由（1）知：${S}_{n}={n}^{2}-4n+4$，当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=（{n}^{2}-4n+4）$-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5，即可求出数列{a_n}的通项公式；
（3）由（2）及其已知可得b_n，c_n，T_n，再利用数列的单调性即可求出实数k的取值范围．

解答 解：（1）由不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，解得：△=m²+4m=0，∴m=0或m=-4．
当m=0时，f（x）=x²，在（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．
当m=-4时，f（x）=x²-4x+4=（x-2）²在（0，2）上单调递减，
故存在0＜x₁＜x₂＜2，使得f（x₁）＞f（x₂）成立，
∴f（x）=x²-4x+4；
（2）由（1）知：${S}_{n}={n}^{2}-4n+4$．
当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=（{n}^{2}-4n+4）$-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5，
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1，n=1\\ 2n-5，n≥2\end{array}\right.$；
（3）∵${b}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{8，n=1}\\{{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$，
∴${b_1}=8，{b_2}=4，{c_1}=12-\frac{1}{8}$．
当n≥2时，${C_n}=\frac{{6×{{（{2^n}）}^2}+{2^{n+1}}-{2^n}}}{{{2^n}×{2^{n+1}}}}=3+{（\frac{1}{2}）^{n+1}}$
T_n=C₁+C₂+C₃+…$+{C_n}=12-\frac{1}{8}+3（n-1）+\frac{{\frac{1}{8}•[1-{{（\frac{1}{2}）}^{n-1}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}$=$9+\frac{1}{8}+3n-{（\frac{1}{2}）^{n+1}}$，
∵T_n＞3n+k对?n∈N，n≥2恒成立，
∴$k＜9+\frac{1}{8}-{（\frac{1}{2}）^{n+1}}$．
设ϕ_（n）=$9+\frac{1}{8}-{（\frac{1}{2}）^{n+1}}$，是关于n的增函数，
∴ϕ（n）_min=ϕ_（2）=9，
∴k的取值范围是：k＜9．

点评 本题考查了二次函数解析式的求法，考查了数列{a_n}的通项公式以及二次函数的性质、二次函数与不等式的联系，是中档题．