Question

若不等式|x-1|+|x-3|≤a²+a解集非空，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：令f（x）=|x-1|+|x-3|可求得f（x）_min，依题意，a²+a≥f（x）_min，解之即可．

解答： 解：令f（x）=|x-1|+|x-3|，由绝对值的几何意义：数轴上的点到1，3的结论之和，
可知函数f（x）的最小值为：2，
即f（x）_min=2．
∵不等式|x-3|+|x-1|≤a²+a的解集非空，
∴a²+a≥f（x）_min=2，
∴a²+a-2≥0．
解得：a≥1或a≤-2．
∴实数a的取值范围是（-∞，-2]∪[1，+∞）．
故答案为：（-∞，-2]∪[1，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式，考查构造函数思想与方程思想，考查理解题意与推理运算的能力，属于中档题．