Question

【题目】椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，为旋杆上的一点，且在，两点之间，且，当滑标在滑槽内作往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系.

（1）求椭圆的方程；

（2）设，是椭圆的左右顶点，点为直线上的动点，直线，分别交椭圆于，两点，求四边形面积为，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）由题得，，结合图2，可知椭圆的长半轴长为3，短半轴长为1，故可得椭圆的方程；

（2）设点，其中，则直线的方程为，直线的方程为，设，，由得，算出，同理得，所以得四边形的面积为，令解方程求出，当时，由对称性可得，故可得符合条件的点.

（1）由题得，，所以椭圆的长半轴长为3，短半轴长为1，

故椭圆的方程为：；

（2）设点，其中，则直线的方程为，直线的方程为.设，.

由，消得，由于，则.

由，消得，由于，则.

所以四边形的面积为

.

由于，，

故.

解得或（舍去），即，当时，由对称性可得，.

综上，当点或时，四边形的面积为.