Question

已知圆C过点M（0，-2），N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C₁过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用点在圆上，圆心在直线上，列出方程组，解得D，E，F，即可求得圆C方程．
（Ⅱ）设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用直线与圆的方程联立方程组，利用韦达定理，推出x₁x₂，y₁y₂，利用垂直关系得到2x1x2+b(x1+x2)+b2=0，求得b=-1或b=-4时方程（*）有实根．说明存在这样的直线l有两条，即可．

解答： 解：（Ⅰ）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
则

- D 2 -E+1=0 4-2E+F=0 10+3D+E+F=0

解得D=-6，E=4，F=4
∴圆C方程为x²+y²-6x+4y+4=0----------------------（5分）
（Ⅱ）设直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则由

x2+y2-6x+4y+4=0 y=x+b

得2x²+2（b-1）x+b²+4b+4=0（*）
∴

x1+x2=1-b x1•x2= b2+4b+4 2

----------------------------（7分）
∴y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x1x2+b(x1+x2)+b2，
∵AB为直径，∴，∠AOB=90°，∴OA²+OB²=AB²，
∴x12+y12+x22+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2
得x₁x₂+y₁y₂=0，---------------------------------（9分）
∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0，
即b²+4b+4+b（1-b）+b²=0，b²+5b+4=0，∴b=-1或b=-4-----------（11分）
容易验证b=-1或b=-4时方程（*）有实根．
故存在这样的直线l有两条，其方程是y=x-1或y=x-4．--------------------（12分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．