Question

如图，正方形CDEF内接于椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ的顶点G，H在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边EF上．且CD=2PQ=

4 10

5

．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A，B两个不同点，求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出点E（

2 10

5

，

2 10

5

），点G（

4 10

5

，

10

5

），代入椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；
（2）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可．直线l方程为y=

1

2

x+m，代入椭圆方程

x2

8

+

y2

2

=1，消去y，利用韦达定理，结合斜率公式，化简可得结论．

解答： （1）解：∵CD=

4 10

5

，∴点E（

2 10

5

，

2 10

5

），
又∵PQ=

2 10

5

，∴点G（

4 10

5

，

10

5

），
∴

8 5a2 + 8 5b2 =1 32 5a2 + 2 5b2 =1

解得

a2=8 b2=2

，
∴椭圆方程

x2

8

+

y2

2

=1．（4分）
（2）证明：设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
直线l方程为y=

1

2

x+m，代入椭圆方程

x2

8

+

y2

2

=1，
消去y，x²+2mx+2m²-4=0可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4．（9分）
而k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-1

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0，（12分）
∴k₁+k₂=0，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．