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    【题目】已知函数.

    （1）讨论函数的零点个数；

    （2）已知，证明：当时，.

    【答案】（1）当或时，个零点；当时，个零点；当时，个零点.（2）见解析

    【解析】分析：（1）先换元，令得到，转化成求函数的零点个数，再对a分类讨论求函数的零点个数. (2)先转化成只需证.再转化成左边函数的最大值，小于右边函数的最小值.

    详解：（1）.令.

    令，则函数与的零点个数情况一致. .

    1）时，在上单调递增.

    又个零点.

    2）时，在上单调递增，上单调递减.

    .

    ①即时，，无零点.

    ②即时，个零点.

    ③即时，，又.

    又，

    ，

    令，

    在上单调递增，两个零点.

    综上：当或时，个零点；当时，个零点；当时，个零点.

    （2）要证，只需证.

    令，只需证：.

    令，

    在上单调递增，在上单调递减，且.

    令 在上单调递增，

    ，

    故.

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